自然数包括什么-自然数中不包括什么数

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材将0归为自然数！

自然数

用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

序数理论是意大利数学家G皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。

自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。

基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数，记作1。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。

自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材将0归为自然数！

自然数是整数，但整数不全是自然数。

例如：123是整数而不是自然数

总之一句话自然数就是大于等于0的整数

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集）

在数物体的时候，数出的……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。基本单位：1计数单位：个、十、百、千、万……

分类：

按能否被2整除按因数个数

↙↘↙↓↘

奇数偶数质数1合数

总之，自然数就是指大于等于0的整数。

用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始包括0

所以小数并不是自然数

年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》中将自然数集记为

而将原自然数集称为非零自然数集

N或N123…

自然数集扩充后文1中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化这给数学教学与数学应用产生一定影响为此我们将自然数的基数理论讨论如下

1对自然数的来源的认识

由于自然数的概念是建立在基数理论1之上的基数是由集合对等而来最初人类对物品的计数是将物品与人的手指脚趾数形成映射关系物品既然存在“多少”也就存在“有”或“没有”“没有”即可认为是空集其计数应当是零这就是说零与非零自然数是人类认识同步的客观现象而并非是6世纪才有零的概念也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一事实上国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数

2自然数的新概念

自然数扩充后包含了空集的基数要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件即定义1有限集合的基数叫做自然数根据对等的概念可以建立N与N的一一映射关系f

N↓0↓1↓2↓3↓……

由此可见N与N有相同的基数即NN

3自然数的四则运算

自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可亦即

定义2设有有限集合A和B且A∩BΦAB分离若记A∪BC集合ABC的基数分别是ab和c那么c叫做a与b的和记作

abc

a和b叫做加数求两个数的和的运算叫做加法

定义3设有1个相互对等且两两分离的有限集合A1A2A3…Am它们的基数都是n又设1AiA的基数记作

a即有ann…nm个这个a就叫做n乘以m的积记作an×m或anm或称为被乘数m称为乘数求两个数积的运算叫做乘法

对于数01补充义定n和0的积是0n和1的积是n即n00n11

在上述定义里加法、乘法的交换律、结合律乘法对于加法的分配律仍然成立

关于减法运算的定义除了去掉“非空”二字外集合B可以是A本身即

定义4设有有限集合A和BBA若记ABC且ABC的基数分别记作abc那么c叫做ab的差记作

abc

a叫做被减数b叫做减数求两个数差的运算叫做减法

除法是乘法的逆运算在原定义中要限定“除数非零”即可

定义5设abb≠0是两个自然数如果存在一个自然数c使得bca那么c叫做a除以b所得的商记作

abc或a÷bc

a称为被除数b称为除数求两个数商的运算叫做除法

4自然数的有关性质

1自然数的有序性决定了自然数可以比较大小即

定义6如果两个有限集合AB的基数分别为ab那么

1°当AA′A′～B时

2°当B′BA～B′时

3°当A～B时ab

自然数有反身律aa对称律若ab则ba传递律若a≥bb≥c则a≥c

自然数从小到大的排序为

2自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质扩充后的自然数其单调性有了局部性改变即

若a≥b则

1°ac≥bc

2°当cgt0时ac≥bc

当c0时

对于与自然数有关的数学论证与原理应随自然数扩充后作相应调整如数学归纳法证明的步骤应是

1°验证n0时命题成立

2°假设nk1时成立则nk时命题成立

您好！

自然数包括0和正整数，不包括负数和小数

自然数，是非负整数，0，1，2，3

整数包括正整数，负整数，和零。

有理数包括整数和分数（包括有限小数和有限循环小数，）

无限循环小数属于无理数。根号2等于属于无理数！！

无理数和有理数统称为实数。

我是高一数学老师，刚给学生们讲完。