什么是反函数-互为反函数的例子

一般地，设函数∈A的值域是C，根据这个函数中xy的关系，用y把x表示出，得到xgy若对于y在C中的任何一个值，通过xgy，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，xgy就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数∈C叫做函数∈A的反函数，记作yf1x反函数yf1x的定义域、值域分别是函数yfx的值域、定义域

例如y2x反函数为y12x

互为反函数的两个函数图像关于yx对称

所以它们与函数yx有几个交点则两个函数就有几个交点

显然最多可能有无数个交点

特别的例子就是函数yx本身，它的反函数也是yx，两个函数图像重合，有无数个交点

反函数一般地，如果x与y关于某种对应关系fx相对应，yfx。则yfx的反函数为yfx1。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的不一定是整个数域内的

反函数的性质

1互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称

2函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射

3一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致

4一般的偶函数一定不存在反函数但一种特殊的偶函数存在反函数例0它的反函数是fx0xa这是一种极特殊的函数，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

5一切隐函数具有反函数

6一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性

7严格增减的函数一定有严格增减的反函数反函数存在定理。

8反函数是相互的

9定义域、值域相反对应法则互逆三反

10原函数一旦确定，反函数即确定三定

例y2x1的反函数是y05x05

y2x的反函数是2x

例题求函数3x2的反函数

解y3x2的定义域为R，值域为R

由y3x2解得

x13y2

将xy互换则所求y3x2的反函数是

y13x2

编辑本段⒈反函数的定义

一般地，设函数∈A的值域是C，根据这个函数中xy的关系，用y把x表示出，得到xy若对于y在C中的任何一个值，通过xy，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，xy就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数xyy∈C叫做函数∈A的反函数，记作xf1y反函数yf1x的定义域、值域分别是函数yfx的值域、定义域

说明⑴在函数xf1y中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数xf1y中的字母xy，把它改写成yf1x，今后凡无特别说明，函数yfx的反函数都采用这种经过改写的形式

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义从反函数的定义可知，对于任意一个函数yfx来说，不一定有反函数，若函数yfx有反函数yf1x，那么函数yf1x的反函数就是yfx，这就是说，函数yfx与yf1x互为反函数

⑶从映射的定义可知，函数yfx是定义域A到值域C的映射，而它的反函数yf1x是集合C到集合A的映射，因此，函数yfx的定义域正好是它的反函数yf1x的值域函数yfx的值域正好是它的反函数yf1x的定义域如下表

函数yfx

反函数yf1x

定义域

AC

值域

CA

⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为

若确定函数yfx的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f1所确定的函数xf1x就叫做函数yfx的反函数反函数xf1x的定义域、值域分别是函数yfx的值域、定义域

开始的两个例子svt记为则它的反函数就可以写为f1ttv，同样y2x6记为fx2x6，则它的反函数为f1xx23

有时是反函数需要进行分类讨论，如fxX1X，需将X进行分类讨论在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为不等于

反函数的应用

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6求函数值域。

解由原函数式可得

则其反函数为，其定义域为

故所求函数的值域为

1反函数的概念

设y＝fx表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝fx中解出x，得到式子x＝φy如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φy就表示x是自变量y的函数这样的函数x＝φyy∈C叫做函数y＝fxx∈A的反函数，记作x＝f1y，通常将它改写成y＝f1x

函数y＝fx的定义域是它的反函数y＝f1x的值域；函数y＝fx的值域是它的反函数y＝f1x的定义域

函数y＝fx的图像和它的反函数y＝f1x的图像关于直线y＝x对称

2反函数概念的理解

反函数实质上也是函数

反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在

并不是所有的函数都有反函数例如函数y＝x2没有反函数只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出fx1≠fx2成立的函数fx才具有反函数这里x1、x2是fx的定义域内的两个值

如果函数y＝fx有反函数y＝f1x，那么函数y＝fx也是其反函数y＝f1x的反函数，即它们互为反函数

函数y＝fx的定义域和值域分别是其反函数y＝f1x的值域和定义域

反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域例如，函数y＝x∈Z不是函数y＝2xx∈Z的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域因此，求函数y＝fx的反函数y＝f1x时，必须确定原来函数y＝fx的值域

3求给定解析式的函数y＝fx的反函数，其步骤为：

1从方程y＝fx中解出x＝f1y

2将x、y互换，得到y＝f1x

3根据y＝fx的值域，写出y＝f1x的定义域

互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝的反函数仍是y＝

4互为反函数图像间的关系

在同一个直角坐标系中，函数y＝fx与其反函数y＝f1x的图像关于直线y＝x对称特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称

在y＝fx与x＝f1y中，x、y所表示的量相同，但是地位不同在y＝fx中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f1y中，y是自变量，x是y的函数在同一个直角坐标系中，y＝fx与x＝f1y的图像是同一个点集

5反函数具备的其它性质

在y＝fx与y＝f1x中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同

若y＝fxx∈A，与y＝f1xx∈C互为反函数，则有

f［f1x］＝xx∈C；

f1［fx］＝xx∈A

互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性

奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数

具有单调性的函数必有反函数

两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上

参考文献：高中数学课本以及网络资源。