那些在考试中取得高分的人必须快速正确地做简单的题，这样他们就有时间思考问题。 因此，适当掌握一些教科书中没有提到的，但是可以加快解题过程中的公式和定理，提高解题速度，尤其是选择和填空的速度是非常有效的。从今天开始，我们将逐一介绍一系列的公式和定理: 通过这个简单的结论，我们可以消除一些在选择和填空时出现的问题，求出金字塔内切球的半径。我们只需要记住这个公式，计算出金字塔的体积和表面积，就可以直接得出结论，大大缩短了解题时间。 如果我们随意选择一个三角形金字塔,三角形金字塔的体积可以表达的体积公式,并且我们也可以推断出三角形金字塔的体积的形式表达的内切球的半径R,所以我们内切球的中心设置为O, O和距离任何三角形金字塔的四个面是R 之后,顶点是O, tripyramid的四方为基础,和四个小三角形锥,高度的R(内切球的中心的距离等于部分),四方的总面积是S,和体积之和是诉首先,金字塔的体积是由四个小金字塔 (图1)如图所示，沿着相邻三个面(B1)的对角线，切割一个一面为立方体的金字塔。 根据切入金字塔内部的球体半径与金字塔体积之间的关系，我们可以直接求出金字塔的体积与四边面积之和 如果我们能很好地运用这个公式，我们就能不假思索地很快地解出这个问题。
二、三棱柱体积公式之三棱台的体积公式
这是一个三角形的ABCDEF。已知ABC和DEF的面积分别为P和Q。三角形棱镜的高度为h，试证明三角形棱镜的体积公式为 (1)四面体由上底ABC和下底(这里是F)的顶点构成;另一个四面体是由下底DEF和上底的一个顶点构成(这里是A)，如下图所示(注意:分割方法不是唯一的，但是不同的分割方法会得到相同的结果)。去掉这两个四面体后，三角棱镜的剩余部分也是一个四面体，也就是说，三角棱镜是由这三个四面体组成的。 在下面的图中，第一个四面体的体积是底ABC P的面积乘以高h除以3，对应于上面方程的第一项;第二个四面体的体积是底DEF的面积乘以高h除以3，也就是上面的第三项。所以我们只要证明四面体的体积等于第二项。 如上所示。我们首先考虑一个由四面体和组成的实体。显然，三角形BCF和BFE位于三角形棱镜在同一平面上的一侧，它们形成梯形(棱镜的一侧必须是梯形，因为棱镜被平行于底面的平面切割)。因此，我们将四面体视为以BCF为底的三角形金字塔ABCF(添加“”表示前字母“”表示顶点，后字母“”表示底);类似地，把一个四面体想象成一个三角形ABFE以BFE为底。这两个基位于三角形金字塔和ABF高度相同的平面上，与接触面的高度相同。三角形ABCF的体积之比，我们设V1，和三角形ABFE的体积之比，我们设V2，等于三角形BCF的面积之比，我们设S1，和三角形BFE的面积之比，我们设S2。但是因为BC平行于EF，所以这两个三角形的高度相等，所以这两个三角形的面积之比等于它们的底之比，也就是BCEF。 同样,四面体和四面体分别为三角金字塔FABE和三棱锥消退,它们形成一个四棱锥F,所以三个金字塔FABE卷(V2)和三棱锥褪色卷(V3)是三角形的面积比安倍和三角形的面积比正面,但梯子,所以,两个三角形面积的比值等于ABDE。我们用这个公式更清晰地表达了上面得到的两个比值: 但是，由于三角棱镜的上、下两侧是成比例的，所以上面两个方程右边的两个比例是相等的。所以得到 即四面体的体积(V2)是另外两个四面体(和)的体积(V1和V3)的几何平均值，且三角形棱镜的上、下边长分别为1。通过 我们可以理解如下公式:三角棱镜的体积等于与三角棱镜高度相同的三个三角锥的体积之和。底面面积Q;P和Q的几何平均值(PQ的平方根)。 这个公式可以推广到任何棱镜，其中P是棱镜底面面积，Q是棱镜底面面积。
三、三棱柱体积公式之从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明
金字塔的体积公式是众所周知的，它隐藏着一个美丽的探索过程和深刻的数学思维方法。前人庚原理的发现为其证明提供了一种新的思路;现代法国数学家让-伊夫·勒德里安(jean-yves le drian)对此也很感兴趣;随着微积分工具的成熟，它们的证明变得更加简单和普遍。本文从数学史的角度，首先对金字塔、锥体和球面金字塔的体积公式进行了证明。 法国数学家庞加莱曾经说过:“如果我们要预见数学的未来，正确的方法是研究这门科学的历史和现状。”从历史的体积公式的三个金字塔,我们看到最纯粹的逻辑思维活动和审美表达的最高水平的智力活动,我们经常看到一个简单的数学公式背后包含了深刻的数学思想和数学曲折的发展历程,这启示教师在日常教学中不妨看看数学教学内容的从历史的角度来看,学生在平时的学习勇气来检查,从历史的角度进行好的问题分析，因为从简单的数学思维方法中发掘出来的问题，可以把我们带回自然、生动、活泼的思维。 3华东师范大学数学系数学分析
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